Kemencengan Dan Keruncingan nya
Jawab:
Untuk menghitung kemencengan dan keruncingan jumlah 6 dadu, kita harus cari tau dulu [tex]E[Y^3][/tex] dan [tex]E[Y^4][/tex] dimana [tex]Y = X_1+X_2+...+X_6[/tex] dengan [tex]X_i \sim U\{1,6\}[/tex] (uniform diskrit 1,2,3,...,6)
Cari [tex]E[Y^3][/tex] dan [tex]E[Y^4][/tex]
kita tau kalau dadu itu berdistribusi uniform diskrit [tex]U\{1,6\}[/tex] dengan
[tex]p = 1/6[/tex], sehingga fungsi pembangkit momennya (mgf) adalah
[tex]M_X(t) = {\displaystyle {\frac {e^{t}-e^{7t}}{6(1-e^{t})}}}[/tex]
sehingga untuk percobaan melempar dadu 6 kali didapat variabel acak [tex]Y[/tex] dengan mgf
[tex]M_Y(t) = E[e^{tY}] = E[e^{t(X_1+X_2+...+X_6)}]= E[e^{tX_1}]^6 ={\displaystyle {(\frac {e^{t}-e^{7t}}{6(1-e^{t})}})}^6[/tex]
cari turunan ketiga dan keempat dari [tex]M_Y(t)[/tex] (pakai wolfram ajah) didapat
[tex]E[Y^3] = \frac{d}{dt^3} M_Y(t) |_{t=0} = 20727/2[/tex]
[tex]E[Y^4] = \frac{d}{dt^4} M_Y(t) |_{t=0} = 241640[/tex]
hasil wolfram dapat dilihat di lampiran
Cari kemencengan dan keruncingan
Untuk distribusi [tex]X_i \sim U\{1,6\}[/tex] (uniform diskrit 1,2,3,...,6) kita dapat
[tex]\mu_X = (1+2+3+...+6)/6 = 3.5[/tex]
[tex]\sigma_X^2 = \frac{1}{6}[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2 +...+(6-3.5)^2 ] = 35/12[/tex]
maka mean dan variansi untuk [tex]Y = X_1+X_2+...+X_6[/tex] adalah
[tex]\mu_Y = E[X_1+X_2+...+X_6] = 6\mu_X = 21[/tex]
[tex]\sigma_Y^2 = Var(X_1+X_2+...+X_6) = 6 \ \sigma_X^2 =35/2[/tex]
Sehingga didapat kemencengan (skewness) untuk [tex]Y[/tex] adalah
[tex]\kappa = E[(\frac{Y -\mu_Y}{\sigma})^3] = \frac{1}{\sigma^3} E[(Y-\mu_Y)^3][/tex]
[tex]= \frac{1}{\sigma_Y^3} (E[Y^3]-3E[Y^2]\mu_Y + 3E[Y]\mu_Y^2 -\mu_Y^3)[/tex]
[tex]= \frac{1}{\sigma_Y^3} (E[Y^3]-3(\sigma_Y^2+\mu_Y^2)\mu_Y + 3\mu_Y^3 -\mu_Y^3)[/tex]
[tex]= \frac{1}{\sigma_Y^3} (E[Y^3]-3\sigma_Y^2\mu_Y -\mu_Y^3)[/tex] ,memasukan nilai [tex]E[Y^3],\mu_Y[/tex] dan [tex]\sigma_Y^2[/tex]
[tex]= 0[/tex]
Untuk mencari keruncingan (kurtosis)
[tex]Kurt[Y] =\ E[(\frac{Y -\mu_Y}{\sigma})^4] = \frac{1}{\sigma^4} E[(Y-\mu_Y)^4][/tex]
[tex]= \frac{1}{\sigma_Y^4} (E[Y^4]-4E[Y^3]\mu_Y + 6E[Y^2]\mu_Y^2 -4E[Y]\mu_Y^3+\mu_Y^4)[/tex]
masukan saja semua [tex]E[Y^4],E[Y^3],\mu_Y[/tex] dan [tex]\sigma_Y^2[/tex]
(dengan [tex]E[Y^2] = Var(Y)+\mu_Y^2[/tex] ) maka didapat
[tex]Kurt(Y) = 488/175[/tex].
Jadi didapat (skewness/kemencengan) [tex]\kappa = 0[/tex] dan keruncingan [tex]Kurt(Y) =488/175[/tex]
[answer.2.content]
